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误差存在的现象:观测值与理论值不符，如高差闭合差fh。
测量误差：观测值与相应真值之差。
观测值: 测量所获得的数值。
真误差(△)关系式
真误差△=观测值L–真值X ，
即△= L – X
或△= X – L （亦可）
观测误差来源：来源于以下三个方面：
观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平；仪器、工具的程度；观测时外界条件的好坏。
观测条件
观测条件：观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变化这三个方面综合起来称为～ 。
观测条件与观测成果精度的关系：
若观测条件好，则测量误差小，测量的精度 高；
若观测条件不好，则测量误差大，精度 低；
若观测条件相同，则可认为观测精度相同。
等精度观测：在相同观测条件下进行的一系列观测
不等精度观测:在不同观测条件下进行的一系列观测

研究误差理论的目的
由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论
不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生
和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实
际问题。
研究误差理论所解决的问题：
（1）在一系列的观测值中，确定观测量的 值；
（2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的限度等；
（3）根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确定测量方法）。

5.1.2、 测量误差的分类
测量误差按其性质可分为
系统误差
偶然误差
1．系统误差
系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为～ 。
系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习惯的影响；外界环境的影响。
系统误差的 点： 具有累积性，对测量结果影响较大，应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。
例：水准测量中LL//CC产生的i角误差对尺读数的影响：
即 △= a′ – a = S tgi
随着S 的增长而加大----系统误差
　　　　　　

系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大，消除 。
系统误差消减方法
1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
例：前后视距相等——水准测量中i角误差对h的影响、球气差对h的影响及调焦所产生的影响。
盘左盘右取均值——经纬仪的CC不垂直于HH；HH不垂直于
VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。
水准测量往返观测取均值——尺垫下沉对h的影响。
2、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。
例：光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。
3、仔细检校仪器。
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响

2．偶然误差
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为 ～。
产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成。
偶然误差的规律：偶然误差在测量过程中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析， 能发现在观测值内部却隐藏着统计规律。
即：偶然误差 单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。
 

错误
测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误（也称之为粗差）。
错误产生的原因：较多
可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；
也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；还有可能是容许误差取值过小造成的。
错误对观测成果的影响：大，所以在测量成果中不允许有错误存在。
发现错误的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照 有关部门制定的各种测量规范进行作业等。

5.1.3 偶然误差的 性
偶然误差的 点具有随机性，所以它是一种随机误差。
偶然误差 单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。

偶然误差分布的表示方法
表格法
直方图法
误差概率分布曲线----正态分布曲线
 

1、 表格法
例如：
在相同观测条件下观测了217个三角形（见图5-J1）的内角，每一个三角形内角和的真误差为三内角观测值的和减去180°，
即真误差：Δ=α+β+γ-180°。
将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间d△（如表5-1中的3″）；
统计出每一个小区间出现的误差个数k及频率，
频率 = 个数k/总数n（n=217），得出统计表。
 

表5-1 三角形内角和真误差统计表
　　　　
从表5-1中可以看出：
该组误差的分布表现出如下规律：
小误差出现的个数比大误差多；
值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；
大误差不超过27″。

2、直方图法
横坐标—以偶然误差为横坐标，
纵坐标—以频率/d△(频率/组距)为纵坐标，
在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积 = 误差出现在该区间的频率(K/n )
所有区间的矩形构成了直方图，如图5-1所示
统计表和直方图是偶然误差的实际分布。

横坐标—以偶然误差为横坐标，
纵坐标—以频率/d△(频率/组距)为纵坐标，
各矩形的面积 = 误差出现在该区间的频率(K/n )
有斜线的矩形面积：为误差出现在+6 ~ +9之间的频率(0.069)
图5-1
　　　

3、误差概率分布曲线----正态分布曲线
当直方图中： n →∞，d△各区间的频率也 趋于一 个完全确定的数值——概率.
若d△ → 0时，则直方图成为误差概率曲线——正态分布曲线。它服从于正态分布。
1)正态分布曲线的方程式为：
　　

 

式中：△为偶然误差；σ（>0）称为标准差，是与观测条件有关的一个参数。它的大小可以 反映观测精度的高低。

标准差σ定义为：
　　　
2)误差概率曲线：叫作偶然误差的理论分布(见图5-2)
误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1。
图5-2 的误差分布曲线是对应着某一观测条件的，当观测条件不同，其相应的误差分布曲线的形状也随之改变。

3)偶然误差的四个 性
性一 有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的值不会超过一定的限值；
性二 集中性：即值较小的误差比值较大的误差出现的概率大；
性三 对称性：值相等的正误差和负误差出现的概率相同；
性四 抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即:
　　　　
在数理统计中，(5-5)式也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示： E(△)=0.
4）不同精度的误差分布曲线： 如图5-3：曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。 v 曲线I 较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观 测精度较高。 v 曲线II较为平 缓，即离散度较 大，因而观测精度较低。
　　　　　　
如图5-3中，曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。
当△=0 时，
　　　　
上式是两误差分布曲线的峰值。
其中曲线Ⅰ的峰值较曲线Ⅱ的高，即σ1<σ2 ，故Ⅰ组观测的小误差出现的概率较Ⅱ组的大。
由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。
曲线I表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。
曲线II相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。
误差理论研究的主要对象——偶然误差
在测量的成果中：
错误可以发现并剔除，
系统误差能够加以改正，
偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占地位，
测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。
 

误差存在的现象:观测值与理论值不符，如高差闭合差fh。
测量误差：观测值与相应真值之差。
观测值: 测量所获得的数值。
真误差(△)关系式
真误差△=观测值L–真值X ，
即△= L – X
或△= X – L （亦可）
观测误差来源：来源于以下三个方面：
观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平；仪器、工具的程度；观测时外界条件的好坏。
观测条件
观测条件：观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变化这三个方面综合起来称为～ 。
观测条件与观测成果精度的关系：
若观测条件好，则测量误差小，测量的精度 高；
若观测条件不好，则测量误差大，精度 低；
若观测条件相同，则可认为观测精度相同。
等精度观测：在相同观测条件下进行的一系列观测
不等精度观测:在不同观测条件下进行的一系列观测

研究误差理论的目的
由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论
不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生
和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实
际问题。
研究误差理论所解决的问题：
（1）在一系列的观测值中，确定观测量的 值；
（2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的限度等；
（3）根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确定测量方法）。

5.1.2、 测量误差的分类
测量误差按其性质可分为
系统误差
偶然误差
1．系统误差
系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为～ 。
系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习惯的影响；外界环境的影响。
系统误差的 点： 具有累积性，对测量结果影响较大，应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。
例：水准测量中LL//CC产生的i角误差对尺读数的影响：
即 △= a′ – a = S tgi
随着S 的增长而加大----系统误差
　　　　　　

系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大，消除 。
系统误差消减方法
1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
例：前后视距相等——水准测量中i角误差对h的影响、球气差对h的影响及调焦所产生的影响。
盘左盘右取均值——经纬仪的CC不垂直于HH；HH不垂直于
VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。
水准测量往返观测取均值——尺垫下沉对h的影响。
2、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。
例：光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。
3、仔细检校仪器。
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响

2．偶然误差
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为 ～。
产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成。
偶然误差的规律：偶然误差在测量过程中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析， 能发现在观测值内部却隐藏着统计规律。
即：偶然误差 单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。
 

错误
测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误（也称之为粗差）。
错误产生的原因：较多
可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；
也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；还有可能是容许误差取值过小造成的。
错误对观测成果的影响：大，所以在测量成果中不允许有错误存在。
发现错误的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照 有关部门制定的各种测量规范进行作业等。

5.1.3 偶然误差的 性
偶然误差的 点具有随机性，所以它是一种随机误差。
偶然误差 单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。

偶然误差分布的表示方法
表格法
直方图法
误差概率分布曲线----正态分布曲线
 

1、 表格法
例如：
在相同观测条件下观测了217个三角形（见图5-J1）的内角，每一个三角形内角和的真误差为三内角观测值的和减去180°，
即真误差：Δ=α+β+γ-180°。
将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间d△（如表5-1中的3″）；
统计出每一个小区间出现的误差个数k及频率，
频率 = 个数k/总数n（n=217），得出统计表。
 

表5-1 三角形内角和真误差统计表
　　　　
从表5-1中可以看出：
该组误差的分布表现出如下规律：
小误差出现的个数比大误差多；
值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；
大误差不超过27″。

2、直方图法
横坐标—以偶然误差为横坐标，
纵坐标—以频率/d△(频率/组距)为纵坐标，
在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积 = 误差出现在该区间的频率(K/n )
所有区间的矩形构成了直方图，如图5-1所示
统计表和直方图是偶然误差的实际分布。

横坐标—以偶然误差为横坐标，
纵坐标—以频率/d△(频率/组距)为纵坐标，
各矩形的面积 = 误差出现在该区间的频率(K/n )
有斜线的矩形面积：为误差出现在+6 ~ +9之间的频率(0.069)
图5-1
　　　

3、误差概率分布曲线----正态分布曲线
当直方图中： n →∞，d△各区间的频率也 趋于一 个完全确定的数值——概率.
若d△ → 0时，则直方图成为误差概率曲线——正态分布曲线。它服从于正态分布。
1)正态分布曲线的方程式为：
　　

 

式中：△为偶然误差；σ（>0）称为标准差，是与观测条件有关的一个参数。它的大小可以 反映观测精度的高低。

标准差σ定义为：
　　　
2)误差概率曲线：叫作偶然误差的理论分布(见图5-2)
误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1。
图5-2 的误差分布曲线是对应着某一观测条件的，当观测条件不同，其相应的误差分布曲线的形状也随之改变。

3)偶然误差的四个 性
性一 有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的值不会超过一定的限值；
性二 集中性：即值较小的误差比值较大的误差出现的概率大；
性三 对称性：值相等的正误差和负误差出现的概率相同；
性四 抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即:
　　　　
在数理统计中，(5-5)式也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示： E(△)=0.
4）不同精度的误差分布曲线： 如图5-3：曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。 v 曲线I 较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观 测精度较高。 v 曲线II较为平 缓，即离散度较 大，因而观测精度较低。
　　　　　　
如图5-3中，曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。
当△=0 时，
　　　　
上式是两误差分布曲线的峰值。
其中曲线Ⅰ的峰值较曲线Ⅱ的高，即σ1<σ2 ，故Ⅰ组观测的小误差出现的概率较Ⅱ组的大。
由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。
曲线I表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。
曲线II相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。
误差理论研究的主要对象——偶然误差
在测量的成果中：
错误可以发现并剔除，
系统误差能够加以改正，
偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占地位，
测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。